Quantos Números Naturais Formados Por Três Algarismos Existem

Contagem de números de três algarismos: o básico que todo mundo esquece

Vou direto ao ponto. O problema de quantos números naturais formados por três algarismos existem é um dos que aparecem com frequência em listas de exercícios e, curiosamente, as pessoas erram com mais frequência do que o esperado. O cálculo em si é simples, mas tem uma armadilha que vale a pena destacar. A resposta direta é 900. Mas vamos passar pelo raciocínio, porque o pulo do gato está na definição do que conta como número de três algarismos. Um número de três algarismos começa em 100 e vai até 999. Se você simplesmente subtrair 999 menos 100, vai dar 899. Esse é o erro clássico. O correto é adicionar 1, porque estamos contando ambos os extremos. 999 - 100 + 1 = 900.

O outro jeito, que eu prefiro e costumo usar quando preciso de algo mais rápido, é pensar em termos de combinação de dígitos. O primeiro algarismo não pode ser zero, senão o número teria apenas dois dígitos. Então ele varia de 1 a 9, o que dá 9 possibilidades. Os dois algarismos seguintes podem ser de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades cada. Multiplicando tudo: 9 × 10 × 10 = 900. Os dois métodos batem. O segundo é mais escalável se o problema mudar, por exemplo, quatro dígitos ou cinco dígitos. Eu já vi gente confundir esse conceito em uma situação real de programação. Tinha um sistema que precisava gerar todas as Senhas de acesso com três dígitos numéricos. O desenvolvedor começou no 000 e foi até o 999, pensando que estaria cobrindo todos os números possíveis. O resultado foram 1000 senhas geradas, mas 100 delas eram inválidas porque começavam com zero. Ajustei o loop para começar em 100 e terminar em 999. O problema de contagem era exatamente esse: o primeiro dígito tem restrição.

Outra nuance que as pessoas costumam perder é a diferença entre "números de três algarismos" e "números formados por três dígitos distintos". Se os dígitos não puderem se repetir, o cálculo muda completamente. Aí o segundo dígito tem 9 possibilidades (pode ser zero, mas não pode repetir o primeiro) e o terceiro tem 8 possibilidades. O resultado seria 9 × 9 × 8 = 648. São dois problemas diferentes e a enunciada raramente deixa isso claro o suficiente. Se você precisa de uma lista completa desses 900 números, pode gerar com um loop simples de 100 a 999. Em Python, por exemplo, basta um range(100, 1000). Em planilhas, arrasta de 100 até 999 e usa a função CONT.SE para validar. Nada de ferramentas complexas para isso. Se a sua necessidade for maior do que apenas contar, como em um contexto de criptografia ou geração de hashes, o cenário muda. Números de três algarismos são pequenos demais para qualquer aplicação de segurança. Usem-se no máximo para fins educacionais ou testes de unidade.

Resumindo o que importa: 900 números. Primeiro dígito de 1 a 9, segundos e terceiros dígitos de 0 a 9. Cuidado com o zero à esquerda e com a interpretação sobre repetição de dígitos, que são os dois pontos que mais causam dúvidas.